I Intervalles

Définition 1 :On appelleensemble des nombres réels, noté $\R$, est l’ensemble des nombres qui sont soit entiers, soit avec une partie décimale finie ou soit avec une partie décimale infinie.

Exemple :$-2,75$; $-\dfrac{1}{3}$; $0$; $\sqrt{2}$; $\pi$; $10$ sont des nombres réels.

$\quad$

Il existe d’autres ensembles de nombres. Voici la liste des plus connus et utiles :

  • Les entiers naturels ($\N$) : Exemple : $0;1;5;123;\ldots$
  • Les entiers relatifs ($\Z$) : Exemple : $\ldots;-5;-2;0;1;6;\ldots$. Il contient l’ensemble $\N$.
  • Les nombres décimaux ($\D$) : Exemple : $\ldots; -4,25;-2;0;1,728;7;\ldots$. Il contient l’ensemble $\Z$.
  • Les nombres rationnels ($\Q$) : Exemple : $\ldots; -\dfrac{10}{3};-2,12;0;3;\dfrac{127}{4};\ldots$. Il contient l’ensemble $\D$ et il est contenu dans $\R$.

On obtient ainsi la chaîne d’inclusions suivante : $\N \subset \Z \subset \D \subset \Q \subset \R$

Définition 2 :On considère deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $a < b$.
On appelle intervalle ouvert $]a;b[$ l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x < b$.
On appelle intervalle fermé $[a;b]$ l’ensemble des réels $x$ tels que $a \le x \le b$.

Exemple :

  • $]1;2[$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $1$ et $2$, tous les deux exclus.
  • $[-2;7]$ est l’ensemble des nombres réels compris entre $-2$ et $7$, tous les deux inclus.

$\quad$

Remarque : On peut ouvrir un intervalle d’un côté et le fermer de l’autre. Ainsi :
$\quad$ $[a;b[$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a \le x < b$
$\quad$  $]a;b]$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a < x \le b$

On veut pouvoir définir sous la forme d’intervalle des inégalités de la forme $2 \le x$ ou $x < 3$. Pour cela on va utiliser les symboles $+\infty$, qui se lit “plus l’infini”, et $-\infty$, qui se lit “moins l’infini”.

Définition 3 :Soit $a$ un nombre réel.
$\quad$ $]-\infty;a[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $x<a$.
$\quad$ $]-\infty;a]$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $x\le a$.
$\quad$ $]a;+\infty[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $a<x$.
$\quad$ $[a;+\infty[$ est l’ensemble des réels $x$ vérifiant $a \le x$.

Remarque :L’intervalle est toujours ouvert du côté des symboles $\pm \infty$.

En plus de pouvoir écrire des intervalles sous la forme d’inégalités on peut également les représenter graphiquement :

$x\in[-2;1[$ peut être représenté par
$x \in ]4;+\infty[$ peut être représenté par

Remarque :On a les notations suivantes :

  • $\R = ]-\infty;+\infty[$
  • $\R^* = ]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[ = \R \setminus\lbrace 0\rbrace$ (ou $\cup$ signifie “union”)
  • $\R_+ = [0;+\infty[$
  • $\R_-=]-\infty;0]$

II Vocabulaire sur les fonctions

Définition 4 : Soit $\mathscr{D}$ une partie de $\R$. Définir une fonction $f$ sur un ensemble $\mathscr{D}$ revient à associer à chacun des réels $x$ de $\mathscr{D}$ un unique réel $y$.
L’ensemble $\mathscr{D}$ est appeléensemble de définition de la fonction $f$.
Le réel $y$ estl’image du nombre $x$ par la fonction $f$ et on note alors $y= f(x)$, qui se lit “$f$ de $x$”.

D’une manière plus synthétique la fonction est parfois définie de la façon suivante :
$$\begin{align*} f:& \mathscr{D} \to \R \\& x \mapsto f(x) \end{align*}$$

Remarque : Le nombre $x$ est appelé lavariable de la fonction.
L’ensemble de définition est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe. Il est parfois noté $\mathscr{D}_f$.

Exemple 1 : On considère la fonction $f$ définie pour tous les réels qui a tout nombre associe sa moitié.
On a ainsi : $\mathscr{D}_f = \R$ et $f(x) = \dfrac{x}{2}$.

Exemple 2 : On considère la fonction $g$ qui a tout nombre positif associe sa racine carrée.
On a ainsi $\mathscr{D}_g = [0;+\infty[$ et $g(x) = \sqrt{x}$.
Cette fonction sera étudiée en classe de première.

Exemple 3 :Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ telle que $h(x) = x^2 + 2x$.
L’image de $1$ est $h(1) = 1^2 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3$
L’image de $-3$ est $h(-3) = (-3)^2 + 2 \times (-3) = 9 – 6 = 3$
Les réels $1$ et $-3$ ont donc la même image par la fonction $h$.

Remarque :La définition 4 précise bien qu’un réel ne peut pas avoir plusieurs images par une même fonction. En revanche, comme on vient de la constater, plusieurs réels peuvent avoir la même image.

Définition 5 : On considère une fonction $f$ définie sur un ensemble $\mathscr{D}_f$ et $a$ un réel appartenant à $\mathscr{D}_f$. On appelle $b$ l’image de $a$ par la fonction $f$. On a donc $f(a) = b$.
On dit alors que $a$ est un antécédent de $b$ par la fonction $f$.

Ainsi dans l’exemple 3, $1$ et $-3$ sont deux antécédents de $3$.

Définition 6 : On considère une fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}_f$. Dans le plan muni d’un repère, on appellecourbe représentative de la fonction $f$, souvent notée $\mathscr{C}_f$ l’ensemble des points $M$ de coordonnées $\left(x;f(x)\right)$ pour tout $x \in \mathscr{D}_f$.

On dit alors qu’une équation de la courbe $\mathscr{C}_f$ est $y = f(x)$.

Sur cet exemple, le point $A(-4;0)$ appartient à la représentation graphique de $f$.

III Exemples de modélisation d’une fonction

Voici quelques façons de définir une fonction. Cette liste n’est pas exhaustive.

  • A l’aide d’une courbe

    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f = [0;13]$.
    L’image de $6$ par la fonction $f$ est $2$.
    Un antécédente de $4$ par la fonction $f$ est $4$.
  • A l’aide d’un tableau de valeurs $$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x & 1 & 2& 3& 4& 5 \\
    \hline
    f(x) & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -2 & \phantom{-}4 & \phantom{-}8\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f = \lbrace 1;2;3;4;5\rbrace$.
    L’image de $2$ par la fonction $f$ est $1$.
    Un antécédente de $-2$ par la fonction $f$ est $3$.
  • A l’aide d’une expression algébrique
    La fonction $f$ est définie sur $[-2;5]$ par $f(x) = 2x^2 -3x$.
    Son ensemble de définition est $\mathscr{D}_f = [-2;5]$.
    L’image de $1$ par la fonction $f$ est $2 \times 1^2 – 3 \times 1 = -1$.
    Un antécédent de $-1$ par la fonction $f$ est $1$.

IV Résolution graphique d’équations

  • Équation $f(x) = k$
    On trace la courbe $\mathscr{C}_f$ et la droite d’équation $y=k$.


    On relève ensuite tous les points d’intersection de ces deux courbes.
    On lit enfin les abscisses ces points qui sont les solutions de l’équation $f(x)=k$.
  • Équation $f(x) = g(x)$
    On trace les deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.

    On relève ensuite tous les points d’intersection de ces deux courbes.
    On lit enfin les abscisses de ces points qui sont les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$.

Remarque :On résout selon le même principe des inéquations du type $f(x) < g(x)$, en indiquant sous forme d’intervalle ou d’ensemble de nombres, les abscisses des points de la courbe $\mathscr{C}_f$ qui sont situés en-dessous des points de la courbe $\mathscr{C}_g$.

Les autres cours de 2nd sont ici .